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函数极限的性质证明(精选多篇)

时间:2023-12-31 18:42:46
函数极限的性质证明(精选多篇)[本文共3090字]

第一篇:函数极限的性质证明

函数极限的性质证明

x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在,并求该极限

求极限我会

|xn+1-a|<|xn-a|/a

以此类推,改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;

|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

……

|x2-a|<|x1-a|/a;

向上迭代,可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)

2

只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法:

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k),则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4,

设x(k)<4,则

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3

当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a,则:t>1、a=1/t

且,f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则:

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以,对于数列n*a^n,其极限为0

4

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明:

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题,帮个忙。。。lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题,只不过题目把答案告诉你了,你把过程写出来就好了

第一题,分子分母都除以n,把n等于无穷带进去就行

第二题,利用海涅定理,把n换成x,原题由数列极限变成函数极限,用罗比达法则(不知楼主学了没,没学的话以后会学的)

第三题,n趋于无穷时1/n=0,sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇:函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2函数极限的性质

ⅰ. 教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性,迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.

2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.

ⅱ. 教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.

难点: 函数极限的性质的证明及其应用.

ⅲ. 讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:

1)limf?x? ;2)limf?x?;3)limf?x?x???x???x???

f?x?;6)limf?x?。 4)limf?x?; 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质.至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应地作些修改即可.

定理3.2(唯一性)若极限limf?x?存在,则此极限是唯一的. x?x0

证设?,?都是f当x?x0时的极限,则对任给的??0,分别存在正数

?1与?2,使得当0?x?x0??1时有

f?x????? ,(1)当0?x?x0??2时有

f?x????? ,(2)

取??min??1,?2?,则当0?x?x0??时,(1)式与(2)式同时成立,故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???,这就证明了极限是唯一的.

定理3。3(局部有限性)若limf?x?存在,则f在x0的某空心邻域u0?x0?内有界. x?x0

证设limf?x???.取??1,则存在??0使得对一切x?u0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

这就证明了f在u0?x0;??内有界.

定理3.4(局部保号性)若limf?x????0 (或?0),则对任何正数r??(或x?x0

r???),存在u0?x0?,使得对一切x?u0?x0?有

f?x??r?0(或f?x???r?0)

证设??0,对任何r?(0,?),取????r,则存在??0,使得对一切

x?u0?x0;??

f?x??????r,

这就证得结论.对于??0的情形可类似地证明.

注在以后应用局部保号性时,常取r?a.2

x?x0定理3.5(保不等式性)设limf?x?与都limg?x?都存在,且在某邻域u0x0;?'内x?x0??

有f?x??g?x?则

limf?x??limg?x?(3)x?x0x?x0

证设limf?x?=?,limg?x?=?,则对任给的??0,分别存在正数?1与?2使x?x0x?x0

得当0?x?x0??1时有

????f?x?, 当0?x?x0??2 时有

g?x?????

令??min?',?1,?2,则当0?x?x0??时,不等式f?x??g?x?与(4)、(5)两式同时成立,于是有

????f?x??g?x?????

从而????2?.由?的任意性推出???,即(3)式成立.

定理3.6(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=a,且在某u0x0;?'内有 x?x0x?x0????

f?x??

则limh?x???. x?x0h?x??g?x?

证按假设,对任给的??0,分别存在正数?1与?2,使得当0?x?x0??1时有,2

????f?x?(7)当0?x?x0??2时有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2,则当0?x?x0??时,不等式(6)、(7)、(8)同时成立, 故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????,所以limh?x??? x?x0?'?

定理3.7(四则运算法则)若极限limf?x?与limg?x?都存在,则函数 x?x0x?x0

f?g,f?g当x?x0时极限也存在,且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?; x?x0x?x0x?x0

2)lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?.limg?x?; x?x0

又若limg?x??0,则f|g当x?x0时极限存在,且有 x?x0

3)limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?. x?x0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给学生作为练习.

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.

例 1求limx??x?0?x?

解当x?0时有

1?x?x???1, ?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫敛性得:xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面,当x?0有1?x???1?x,故又由迫敛性又可得:lim x???1 ?x?0?x??x?

综上,我们求得lim x???1 x?0?x?

3 ?1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的, cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs, ?2x?4

并按四则运算法则有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1 4

例 3求lim?3??1?3?. x??1x?1x?1??

解 当x?1?0时有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的极限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4证明lima?1?a?1? x

x?0

证任给??0 (不妨设??1),为使

xa?1??(9)

即1???a?1??,利用对数函数loga

loga?1????x?loga?1???

于是,令x(当a?1时)的严格增性,只要 ??min?loga?1???,?loga?1????, 则当0?x??时,就有(9)式成立,从而证得结论.

ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质,并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.

ⅴ 课外作业: p51 2、3、5、7、8、9.

第三篇:§2函数极限的性质

《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院

§2 函数极限的性质

教学章节:第三章函数极限——§2 函数极限的性质

教学目标:使学生掌握函数极限的基本性质.

教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点:函数极限的性质及其计算.

教学难点:函数极限性质证明及其应用.

教学方法:讲练结合.

教学过程:

引言

在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限:

1、limf(x);2、limf(x);3、limf(x);4、limf(x);5、limf(x);6、limf(x).

x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?

它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至

x?x0

于其它类型极限的性质及其证明,只要作相应的修改即可.

一、函数极限的性质

性质1(唯一性) 如果x?a

limf(x)x?alimf(x)存在,则必定唯一. 证法一设?a,x?alimf(x)?b,则

???0,??1?0,当0?|x?a|??1时,

|f(x)?a|??,(1)

??2?0,当0?|x?a|??2时,

|f(x)?b|??.(2)

??min??1,?2?取

因而有 ,则当0?x?a??时(1)和(2)同时成立.

a?b?(f(x)?a)?(f(x)?b)?f(x)?a?f(x)?b?2?,(3)

由?的任意性,(3)式只有当

a?b?0

时,即a?b时才成立.

a?b2

证法二反证,如x?a

0?x?a??

limf(x)

?a

,x?a

limf(x)?b

且a?b,取

?0?

,则???0,使当

时,

f(x)?a??0,f(x)?b??0

,

a?b2

?a??0?f(x)?b??0?

a?b2

矛盾.

性质2(局部有界性) 若limf(x)存在,则f在x0的某空心邻域内有界.

x?x0

limf(x)?a

??1x?x0证明取, 由 , ???0, 当0?x?x0??时, 有f(x)?a?1,

f(x)?a?f(x)?a?a?1

a?1

说明f(x)在u0(x0;?)上有界,就是一个界.

limf(x)?b

x?a

性质3(保序性) 设,x?a

limg(x)?c

.

0?x?a??0???0

1)若b?c,则0,当时有f(x)?g(x);

0?x?a??0

2)若

??0?0

,当

时有f(x)?g(x),则b?c.(保不等式性)

证明1) 取

?0?

b?c2

即得.2)反证,由1)即得.

注若在2)的条件中, 改“f(x)?g(x)”为“f(x)?g(x)”,未必就有

a?b.以 f(x)?1?x,g(x)?1,x0?0

举例说明.

推论(局部保号性) 如果x?a

号.

limf(x)?b

0?x?a??0???0

且b?0,则0使当时f(x)与b同

性质4(迫敛性) 设limf(x)?limh(x)?a,且在某u0(x0;??)内有f(x)?g(x)?h(x),

x?x0

x?x0

则limh(x)?a.

x?x0

证明???0, 由x?x

limh(x)?a

limf(x)?a

,??1?0,使得当0?x?x0??1时,

有f(x)?a??,即 a???f(x)?a??.又由

x?x0

,??2?0,使得当0?x?x0??2时 ,有h(x)?a??,

即a???h(x)?a??.

令??min(?1,?2),则当0?x?x0??时,有a???f(x)?g(x)?h(x)?a??

limg(x)?a

即g(x)?a??,故 x?x.

性质6(四则运算法则) 若limf(x)和limg(x)都存在,则函数f?g,fg当x?x0时极限

x?x0

x?x0

也存在,且 1)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x);2)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x).

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

又若limg(x)?0,则

x?x0

fg

当x?x0时极限也存在,且有 3)lim

f(x)g(x)

x?x0

?

x?x0

limf(x)

x?x0

limg(x)

.

3)的证明 只要证有

x?x0

lim

1g(x)

b2

?

1b,令

?0?

b2

?0

,由

x?x0

limg(x)?b

b2

0?x?x0??1

,??1?0使得当时,

b2

g(x)?b?

, 即

g(x)?b?g(x)?b?b??

.

g(x)?b?

b2

???0

,仍然由

x?x0

limg(x)?b

??2?0, 使得当0?x?x0??2时,,有

?

.

0?x?x0??

取??min(?1,?2),则当时,有

1g(x)

?1b?

g(x)?bg(x)b

?

2b

g(x)?b?

2b

?

b2

???

x?x0

lim

1g(x)

?

1b.

二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限

利用“迫敛性”和“四则运算”,可以从一些“简单函数极限”出发,计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限:

limc?c,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0;

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

lim

1x

x??

?0,limarctgx??

x???

?

.( 注意前四个极限中极限就是函数值 )

这些极限可作为公式用.

在计算一些简单极限时,利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例1 求limx??.

x?0

?x?

?1?

例2 求lim?

(xtgx?1).

x?

例3 求lim(

1x??1

x?1

?

3x3

?1

).

例4lim

5x?3x?73x3

?2x2

?5

.

x??

注关于x的有理分式当x??时的极限.参阅[4]p37. 7

例5lim

x?1n

x

10利用公式x?1

?1

.[a?1?(a?1)(a

n?1

?a

n?2

???a?1)

].

例6lim

x?2x?2?1x?1

x2

?x?2

.

例7lim

2x?

3x?1

x???

3x?5

.

例8lim

xsin(2x?x?10)

3?2x

.

x??

例9lim

?x?1.

x?0

?x?1

例10已知 lim

x?16?a参阅[4]p69.

x?3

x?3

?b.求 a和b.作业教材p51—521 -7,8(1)(2)(4)(5); 2

补充题已知lim

x?ax?b7.求a和b.(a??

16x?2

x2?4

?b?3

,b?

203

.)

例11lim??2?x2?ax?b?

??0.x????1?x

?求a和b. ?

2解法一

2?x

?ax?ax

1?x

?ax?

2?x1?x

?

?(a?1)x2

?ax?2

1?x

?b,(x??).

?a?1?0,a??1;又 ?a?b,?b?1.

解法二2?x2

1?x?ax?b?x ??? 2?x2?a?b?

?,?x?x

2x? 由x??且原式极限存在(本文 来自www.), ??

2?x2x?x

?a?b

x?0,即 a?lim??2?x2?b?

???1,b?lim??2?x2?x???1x???. ?x?x2x??x????1?x??

第四篇:2 函数极限的性质

§2 函数极限的性质

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:

1);2);3);

4);5);6)。

它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。

至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。

定理3.2(唯一性)若极限

证设与、都是当 存在,则此极限是唯一的。 时的极限,则对任给的,

分别存在正数,使得当

时有

(1)

时有

(2) 取,则当时,(1)式与 (2) 式同时成立,故有

由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。

定理3.3(局部有界性) 若极限

内有界。存在,则在某空心邻域

证设

。取,则存在,使得对一切

这就证明了在内有界。

定理3.4(局部保号性)若(或

),存在,使得对一切

(或),则对任何正数

(或

证 设

,这就证得结论。对于,对任何

,取

,则存在

)。

,使得对一切

的情形可类似地证明。

定理3.5(保不等式性)设

内有

,则

都存在,且在某邻域

。(3)

证 设,使得当

,时

,则对任给的,分别存在正数与

(4)

时有

(5)

,则当

时,不等式

与(4),

(5)式同时成立,于是

有式成立。

,从而

。由的任意性得

,即(3)

定理3.6(迫敛性)设==,且在某内有

(6)

证 按假设,

对任给的

,分别存在正数

,使得当

(7)

时有

(8)

式同时成立,故有

,则当

时,不等式(6)、(7)、(8)

,由此得

,所以。

定理3.7(四则运算法则)若极限,

都存在,则函数

时极限也存在,且

1)

=

2)

=

又若,则当时极限也存在,且有

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给读者作为练习。 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。

例1求。

解 由第一章§3习题13,当 时有

,而

,故由迫敛性得

另一方面,当时有

,故由迫敛性又可得

综上,我们求得

例2 求。

解由

及§1例4所得的

并按四则运算法则有

=

例3 求

解 当 时有

故所求极限等于

例4证明证任给

(不妨设

),为使

(9)

,利用对数函数

(当

时)的严格增性,只要

于是,令

成立,从而证得结论。

,则当时,就有(9)式

第五篇:函数极限的证明

函数极限的证明

(一)时函数的极限:

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限:

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义:单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点:函数极限的性质及其计算。

教学难点:函数极限性质证明及其应用。

教学方法:讲练结合。

一、组织教学:

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课:

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)

註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限:已证明过以下几个极限:

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

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